Nos capítulos anteriores, partimos do pressuposto de que o tamanho da amostra, \(n\), era conhecido e fixo. No entanto, em determinadas situações, pode ser necessário determinar o tamanho ideal da amostra a ser selecionada de uma população. Esse dimensionamento visa alcançar um erro de estimação predefinido, com um nível de confiança específico.
Suponha que nosso objetivo seja estimar uma média populacional \(\mu,\) utilizando a média amostral \(\bar{X}\), a qual é calculada a partir de uma amostra de tamanho \(n\). Nesse contexto, desejamos determinar o tamanho adequado da amostra \(n\) de forma que
\[P(|\bar{X}-\mu| \leq \epsilon) \geq \gamma,\]
em que \(0 < \gamma < 1\) e \(\epsilon\) é o erro amostral máximo que admitimos. Vamos considerar que ambos os valores são fixados.
No Capíotulo 10 vimos que \(\bar{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n)\), logo \(\bar{X} -\mu \sim N(0, \sigma^2/n)\) Deste modo, podemos escrever a equação acima da seguinte forma
\[ P(|\bar{X}-\mu| \leq \epsilon) = P(\epsilon \leq \bar{X}-\mu \leq \epsilon) \geq \gamma. \]
Se dividirmos todos os termos por \(\sigma/\sqrt{n}\), temos que \[ P\left(\frac{\epsilon}{\sigma/\sqrt{n}} \leq \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \leq \frac{\epsilon}{\sigma/\sqrt{n}}\right) = P\left(\frac{\sqrt{n} \epsilon}{\sigma} \leq Z \leq \frac{\sqrt{n}\epsilon}{\sigma}\right) \approx \gamma, \]
em que \(Z = (\bar{X}-\mu)/(\sigma/\sqrt{n})\). Vimos anteriormente que \(Z \sim N(0,1)\). Como \(\gamma\) é fixado, podemos obter o quantil \(z_{\gamma}\) da \(N(0,1)\), tal que \(P(-z_{\gamma} < Z < z_{\gamma}) = \gamma\), de modo que
\[\dfrac{\sqrt{n} \epsilon}{\sigma} = z_{\gamma},\]
isolando \(n\) na equação acima, obtemos
\[n = \dfrac{\sigma^2 z^2_{\gamma}}{\epsilon^2}.\] Os termos presentes na equação acima, \(z_{\gamma}\) e \(\epsilon\) são conhecidos, porém a variância populacional \(\sigma^2\), provavelmente será desconhecida. Para estimar \(n\) de forma adequada, é necessário dispor de informações prévias sobre \(\sigma^2\), caso não exista, é possível coletar uma amostra piloto para estimá-la.
Exemplo: Suponha que uma amostra piloto de \(n=10\) extraída de uma população de interesse, forneceu os valores \(\bar{x} = 10\) e \(s^2 = 25\). Suponha que desejamos que a diferença entre a média estimada e a média real não exceda 1,1 unidades, com um nível de confiança de \(95\%\). Qual deveria ser o tamanho de \(n\) para estimarmos a média desta população atendendo as condições especificadas?
#Especificando os termos fixados
e = 1.1
niv.conf = .95
sigma2 = 25
#Obtendo o quantil da distribuição normal padrão
z = qnorm(p = (1-niv.conf)/2,
mean = 0,
sd = 1,
lower.tail = FALSE)
#Calculando o tamanho de n
n = (sigma2*z^2)/e^2
#Visualizando n
n[1] 79.36898Precisaríamos entrevistar 80 unidades amostrais desta população. Para avaliarmos o impacto dos componentes envolvidos no cálculo do tamanho da amostra, vamos construir uma função que calcula \(n\) para estimar uma média populacional \(\mu\).
#Criando a função que calcula n
tam_amostra = function(e,sigma2, niv.conf){
#obtendo z
z = qnorm(p = (1-niv.conf)/2,
mean = 0,
sd = 1,
lower.tail = FALSE)
#calculando n
n = (sigma2*z^2)/e^2
return(n)
}
#Aplicando a função nos dados fornecidos no exemplo
tam_amostra(e = 1.1,
niv.conf = .95,
sigma2 = 25)[1] 79.36898Qual o impacto no cálcuo do \(n\) com a diminuição de \(\epsilon,\) isto é, se desejarmos que o erro amostral (diferença entre o valor estimado e o valor real) seja menor. Para entender um pouco melhor, vamos plotar o gráfico do valor de \(n\) em função dos valores de \(\epsilon\). Avalie o comportamento de \(n\) para \(0.1 < \epsilon < 1\).
#Ativando pacote
library(ggplot2)
library(tibble)
#Plotando a função
ggplot(data = tibble(x=c(0.1,1)),
mapping = aes(x = x)) +
stat_function(fun = tam_amostra,
args = list(niv.conf = 0.95,
sigma2 = 25)) +
labs(y = "Tamanho da amostra",
x = "erro amostral",
title = "conf = 0.95 e sigma2 = 25") +
scale_x_continuous(breaks = seq(from = 0, to = 1, by = .1))
Percebemos pelo gráfico acima que \(n\) assume valores altos a medida que \(\epsilon \rightarrow 0\). Com a função criada é possível examinarmos o impacto de outras quantidades envolvidas no problema no valor final de \(n\).
Como discutido no Capítulo 10, a proporção é uma média para um caso particular de \(X\), isto é, quando \(X\) representar uma variável definida como \[X = \left \{ \begin{array}{cl} 1, & \mbox{se o indivíduo possui a característica de interesse} \\ 0, & \mbox{caso contrário}. \\ \end{array} \right.\]
Nesse contexto, \(\sigma^2 = p(1-p)\) e de forma direta, é possível reescrever a fórmula do cálculo do tamanho amostra como
\[n = \dfrac{\sigma^2 z^2_{\gamma}}{\epsilon^2} = \dfrac{p(1-p) z^2_{\gamma}}{\epsilon^2}.\]
Como \(p\) é a proporção verdadeira de indivíduos que possuem a característica de interesse, \(p\) é desconhecida e é o nosso objeto de interesse. Neste caso podemos adotar duas possibilidades. A primeira seria realizar uma amostra piloto e utilizar \(\hat{p}\) ou pegar alguma informação prévia sobre \(p\). Esta abordagem é conhecida como otimista e deste modo
\[n = \dfrac{\sigma^2 z^2_{\gamma}}{\epsilon^2} = \dfrac{\hat{p}(1-\hat{p}) z^2_{\gamma}}{\epsilon^2}.\]
Outra possibilidade é adotar o valor de \(p\) que faz com que a variância \(p(1-p)\) seja a maior possível. Vamos avaliar o comportamento de \(p(1-p)\) em função da variação de \(p\).
#função p(1-p)
fp = function(p){
aux = p*(1-p)
return(aux)
}
#Plotando a função
ggplot(data = tibble(x=c(0,1)),
mapping = aes(x = x)) +
stat_function(fun = fp) +
labs(y = "p(1-p)",
x = "p") +
scale_x_continuous(breaks = seq(from = 0, to = 1, by = .1))
Claramente, pela figura acima, percebemos que o maior valor de \(p(1-p)\) ocorre quando \(p=0.5\). Chamamos essa abordagem de conservadora e deste modo \[n = \dfrac{0,5(1-0,5) z^2_{\gamma}}{\epsilon^2} = \dfrac{z^2_{\gamma}}{4\epsilon^2}.\]
Exemplo: Suponha que estamos interessados em estimar a porporção de alunos da UFF interessados em dar continuidade nos estudos após o término da graduação. Desejamos que a proporção estimada não difira da verdadeira proporção em mais de 0,05, com um nível de confiança de 0,95. Quantos alunos devem ser entrevistados?
#Especificando os termos fixados
e = 0.05
niv.conf = 0.95
#Obtendo o quantil da distribuição normal padrão
z = qnorm(p = (1-niv.conf)/2,
mean = 0,
sd = 1,
lower.tail = FALSE)
#Calculando o tamanho de n
n = z^2/(4*e^2)
#Visualizando n
n[1] 384.1459Logo, precisaríamos entrevistar 385 alunos para estimarmos a proporção de alunos da UFF interessados em dar continuidade nos estudos após o término da graduação, de modo que a diferença entre a proporção estimada e a real fosse no máximo de 0,05 com uma confiança de \(95\%\).
Suponha que o ministério da saúde deseja saber a quantos voluntários se deva aplicar uma vacina, de modo que a proporção de indivíduos imunizados na amostra difira de menos de 3% da proporção verdadeira de imunizados na população, com probabilidade 95%. Qual o tamanho da amostra devemos trabalhar?
Avalie o impacto de \(\hat{p}\) no tamanho de \(n\), assumindo que \(\gamma = 98\%\) e o erro amostral é de 0,05 para o çalculo do tamanho da amostra para estimar a proporção num cenário otimista.
Suponha que uma amostra piloto de \(n=25\) extraída dos moradores do Ingá, forneceu os valores \(\bar{x} = 45,7\) anos e \(s = 50\) anos. Suponha que desejamos que a diferença entre a idade média estimada e a idade média real da população não exceda 2 anos, com um nível de confiança de \(98\%\). Qual deveria ser o tamanho de \(n\) para estimarmos a idade média desta população atendendo as condições especificadas?